Имеет ли смысл оставаться в Кутаиси на неделю (летим из другой страны отпуск, чтобы встретится с родными на нейтральной территории) или стоит куда-то ещё съездить?

Тут есть что неделю делать, довольно богатый район по интересностям. В ту же Местию сгонять когда более локальные закончаться.

Если любите море советую Батуми) набережная, развлечения на любой вкус, парки, дельфинарий, фуникулер и конечно же море.