Подскажите, пожалуйста, страховку для ВНЖ Турции нужно покупать с даты заключения договора аренды? И эту же дату указывать в анкете на ВНЖ?

Да не обязательно чтоб прям с этой же даты. Например вы арендовали квартиру. Через неделю, к примеру, пошли покупать страховку. Ну и покупайте ее со сроком действия с даты покупки. И хоть в этот же день заполняйте заявку на внж на е-икамет. А можете выждать даже ещё, и подаваться ближе к концу безвизового срока пребывания (60 дней либо 60+30 если с выездом). Если есть такое желание.