Надо оформить гендоверенность для РФ в Батуми. Человек, на которого будет написана доверенность, находится со мной в Батуми. Как, куда и у кого ее оформить, чтобы было все правильно?

Там все просто. Берете паспорта, идете к нотариусу и просите сделать доверенность помимо грузинского ещё и на русском языке (многие нотариусы предоставляют услуги перевода). Единственное, может потребоваться образец доверенности из той организации РФ, куда доверенность предоставляется (если что-то специфическое). Если доверенность стандартная, то образца не нужно.