Я слышал, что многие граждане Узбекистана, получившие российское гражданство, при выезде из Узбекистана предъявляют российский загранпаспорт и у них не возникает никаких проблем на границе. Это действительно так?

Не двойное, а два гражданства. В законе о гражданстве РУз, так же как и в законе о гражданстве РФ, нет запрета иметь другое гражданство. И в том и в другом законе о гражданстве говорится, что РУз и РФ не признают другого гражданства у своих граждан. Можно иметь 2/3/4 и т. д. гражданств и паспортов, но на территории РУз гражданин РУз должен пользоваться паспортом РУз, так же как и на территории РФ гражданин РФ должен пользоввться паспортом РФ. Договор об урегулировании вопросов двойного гражданства подписан только между РФ и республикой Таджикистан.