А можно ли будет получить российский загранпаспорт старшему ребёнку в консульстве рф в Аргентине? Или это надо все визы в России ставить?

Российский загранпаспорт российское консульство выдаст Но вопрос с визой в третью страну решает не российское консульство, а консульство соответствующей страны (т. е., например, французское в случае шенгенской визы). Обычно, при наличии законных оснований для нахождения в третьей стране, Вы можете на визу подать не в стране гражданства. Так, например, российские граждане выезжают в условную Грузию для получения визы в США, когда в РФ закрыто посольство США.