Может ли иностранный гражданин въехать и выехать в Узбекистан в июне, если срок действия заграничного паспорта заканчивается в июле? То есть месяц остаётся.

По-моему, везде требование "3 месяца до окончания", не?

Последние три месяца действия загранпаспорта неофициально считаются месяцами «возвращения», и уже надо менять. скорее всего с таким не впустят в рУЗ, и не выпустят из РФ.

Я заехал с паспортом, который действовал меньше месяца.

Нужно менять на новый паспорт, иначе будут неприятности с таможней.