Скажите, а российское консульство апостилирует документы, к примеру, дипломы?

Российское консульство не апостилирует никакие документы. Это не их компетенция. Все документы апостилируются там, где их выдали. Диплом будет апостилироваться учреждениями Министерства образования РФ. Если это Москва - то это Департамент образования г. Москвы. И не забудьте, что вкладыш с оценками тоже нужно подать на апостиль вместе с дипломом.