Подскажите если загранпаспорт заканчивается в июне на границе не пропустят на отдых на майские праздники??

Это правило распространяется на шенгенскую зону, в монголию можно заехать хоть за сутки до окончания паспорта, на усмотрение пограничников. И выехать обязаны до его окончания. Сорок действия паспорта указан в самом паспорте и ограничивать вас в выезде из страны не правомерно.