Если заезжать в Монголию на машине, оставить машину в Монголии и выехать обратно в РФ без машины, не возникают ли у монгольской таможни вопросы в таком случае?

У вас же в паспорте нет отметки, как вы заезжали в страну: на автобусе , на своем авто или на чужом. Поэтому вопросов не будет когда вы будете выезжать. Главное соблюдать срок нахождения авто за границей.