Можно ли ловить запись на прием в консульство Латвии в Москве - из Латвии? То есть вызывающий, а не претендент на визу.

Любой может ловить запись, просто при записи внесет данные (почту и телефон) того, кто будет на визу подаваться.

Ловить окошко можете, но нужно записать именно фамилию и данные того, кто будет подаваться.