Подскажите, пожалуйста, в Батуми есть что-то типа детского мира?

Смотря что надо, хороший магаз у центрального входа в парк пионеров.

В таком формате нет. Но есть много магазинов детской одежды, игрушек или детские отделы во всех крупных универмагах.