А можно въехать по русскому паспорту, а получить загранпаспорт в посольстве российском уже на месте? Или для съёма жилья нужен загранник?

Можно. Не нужен.

Можно въехать по внутреннему российскому, но очереди в посольстве точно будут и были огромные.

Можно.

Нет не нужен. На внутренний паспорт РФ можно договор составить. В.