Подскажите, если лечу с животным с пересадкой в другой стране, мне и на эту страну разрешение нужно получать? Или достаточно разрешения на Шри Ланку? .

Логично исходить из того, пересекаете вы границу страны где пересаживаетесь или остаётесь в транзитной зоне.

Если у вас единый билет - только в страну ввоза. Если у вас раздельно купленный билет, у вас большие проблемы)