Правда ли, что если гражданин Украины сделает регистрацию в Будапеште , можно с помощью этой регистрации остаться на долгий срок, а не 90 дней, как положено?

Нет понятия просто регистрация. На срок до 90 дней вы турист по безвизу. После 90 дней пребывания нужно или защиту получать или внж по выбранному основанию. Иначе вы становитесь нелегалом.