Подскажите, если получил загран в консульстве в Казахстане и там нет никаких печатей о пересечении границ, могут ли открыть счет в банке? И в каких банках можно открыть?

Могут по регистрации.

Для открытия счета нужен не штамп, а подтверждение законности пребывания на территории РК. По штампу видно дату пересечения границы. До 30 дней не нужна регистрация. Если к вас регистрация есть. То можно и без штампа.

Вместо штампа в загранпаспорте в банке можно предъявить уведомление о пребывании или рвп.