Нужно ли уведомлять МВД России о получении боровака при пересечении границы России?

Не нужно.

Привремени боравак - временный вид на жительство, уведомлять надо о постоянном. Я на всякий случай сходил, с некоторым удивлением майор у меня уведомление принял. Удивление вызвало то, что это - налепница, а не самостоятельный документ. Формально они принимают только отдельные документы ("документ, предоставляющий право на постоянное проживание").