Скажите, пожалуйста, если прилететь на неделю в Черногорию на отдых, то тоже нужно регистрироваться?

Обязательно.

Обязательно в туристичкуе оплатить налог, если этого не сделает отель.

Смотря где будете жить. если в отеле то скорее всего не нужно, сбор будет включен в стоимость, отель сам вас зарегистрирует, но уточните это на ресепшене. в чеке от отеля обычно сумма регистрации отдельной строкой. eсли на съемной то да, нужно будет регистрироваться самому.