Подскажите, пожалуйста, если в анкете на визу указаны даты поездки с 20 по 30 мая, а записаться в консульство удалось только на 1 июня, примут ли такие анкеты?

Да. Нужно будет распечатать анкету которая у вас и просто ручкой исправить.

Примут. В анкету внесете исправления при подаче. Всё остальное переделайте. Билеты, приглашения, брони - всё должно отталкиваться от того, что 1 июня сдаете документы.