Подскажите пожалуйста, какой район Тбилиси лучше выбрать для съёма жилья?

Всё индивидуально. Зависит от вашего бюджета, нужной инфраструктуры, вида, шума... .

Сабуртало.

Все, что около центра. Есть еще район Сабуртало, спальный район, где много экспатов. Но нам не зашел. Еще район Ваке - самый дорогой, если не ошибаюсь. Ну и в принципе вся ветка метро от Площади свободы до Дидубе хороша.