Кто-нибудь может подсказать насчёт открытия банковского счета (получение карты) в Батуми? В каком банке лучше это сделать и что необходимо из документов? Может есть какие-то особенности?

Проще всего в CREDO. В других банках - лотерея. По документам: если есть трудовой договор - несите для подтверждения источника денег. Если нет, идите просто с паспортом и скажите, что источник - собственные накопления.