Из России в Грузию приехал по армянскому паспорту, сейчас есть желание поехать в Турцию, но уже по Грузинскому паспорту, могут возникнуть проблемы или нет?

Никаких проблем) два паспорта не запрещены. Правило такое по какому паспорту заехали по тому и выезжать надо. Для граждан Грузии тоже как и для турок можно просто по id же.

Если есть грузинское пирадоба по нему можно выехать и заехать, только берете на таможне листок и заполняете его и в него ставят печать о пересечении границы.