Когда вызываем такси на кнопку, нужно ли просить включить счётчик? Он у них вообще есть?

Есть конечно) это официальное такси. Если начнут говорить, что не работает и т. д. Говорите, что вызываете другое такси, либо договариваетесь на определеную сумму (но это так себе вариант, не стабильный)