Если приехать в Астану из РФ на 10-14 дней в отпуск, нужно уведомлять кого-то?

По закону нужно.

Если вы гражданин РФ, то можете находиться до 90 дней в любой период 180 дней. Точка. Принимающая сторона должна по закону в течение 3 дней подать уведомление о том, что у них проживает иностранец. Если уведомление не будет подано, то для вас последствий нет. Принимающую сторону могут оштрафовать, но по факту для этого надо, чтобы миграционка узнала об этом, чего почти никогда не случается, за исключением странных случаев, когда принимающая сторона подает уведомление «с опозданием».