Мне в агентстве, которые со стороны работодателя занимается ВНЖ, сказали что многие владельцы квартир не хотят их сдавать если они под ВНЖ.

Я думаю это на уровне слухов. Мой опыт - сдают нормально квартиры, только не торгуются в цене. Но здесь, в Будапеште, не особенно принято торговаться. Если квартира пока не сдаётся, арендодатель не снижает цену, а ждёт подходящего арендатора.

Всё нормально тут с оформлением ВМЖ и адресных карт. Просто обговаривайте это при снятии квартиры и 90% согласятся вам подписать адресную карту. Что в голове у остальных 10% - не спрашивайте.

Ну, такое, такие арендодатели (боятся налоговой) и договор вам не дадут, поэтому они вам изначально не вариант.