Можно ли работать в Армении без внж? Приехать как турист, найти работу, заключить трудовой договор и получить внж по работе? Так работает? Или надо быть айтишником, врачом?

Можно.

Не важно, если у вас тут трудовой с местной компанией - можно податься на workpermit.

Можете спокойно приехать, найти работу, заключить ТД и на основании тд получить РВП (многие называют ВНЖ).