Подскажите пожалуйста, если дети едут отдыхать с одним из родителей(в разводе), разрешение нужно от второго?

Не нужно.

В Абхазию не нужно. Некоторые страны требуют разрешение, но не Абхазия. Тут скорее даже отсутствие запрета, а не наличие разрешения нужно.