Если оставить регистрацию (штамп в загране) при отъезде из Армении на постоянное проживание в другой стране - это может быть чревато чем-то?

В целом ничем, хотя при отъезде стоит сняться с регистрации. Хозяева вас могут сами отменить регистрацию без вашего участия. У них из-за наличия вашей регистрации на крошечную сумму повышается плата за вывоз мусора.