Подскажите, из Пхукет в Сингапур слетать на 3 дня виза не нужна? Можно просто купить самим билеты и поехать?

Да, не нужна, но вы должны влетать и вылетать в разные страны, то есть Пхукет - Сингапур - Пхукет нельзя.

Если обратный вылет туда же, откуда прилетели, то виза нужна. Без визы только в случае транзита, т. е. вылет после Сингапура в третью страну.

Нет, Сингапур визовая страна , нужен транзит . Например, Тай, Сингапур, Малайзия.