Подскажите, пожалуйста, если в Грузии жениться, то как сменить паспорт и фамилию, не выезжая в РФ?

Никак, это невозможно.

Не меняя фамилию доки менять не надо. Фамилию можно сменить и позднее, не обязательно сразу после свадьбы.

Не советую менять фамилию, если не планируете ехать сейчас обратно в РФ. Это ж потом все документы надо будет менять и удаленно это дикий ужас. Смена загранника только чего стоит. Как минимум месяца 4 нервов. Молчу уже про внутренний паспорт, который меняется только на территории РФ и лично и тп.