Подскажите, если «пересидим» без визарана в Сербии лишнюю неделю, будут проблемы на границе при выезде?

Обязательно, может и до депортации дойти.

Увы, это нарушение миграционного законодательства, что в любой стране больно. Вероятно не выпустят и будут разборки, которые кончатся вряд ли чем-то большим чем штраф, но потеряете билеты и непредсказуемое количество времени.