Если у меня есть европейское гражданство я могу открыть счет в банке или мне нужно обязательно зарегиться в муниципалитете сначала?

Скорее всего банк захочет увидеть ваше резидентство.

Смотря какое именно европейское гражданство. Если Бельгии или Люксембурга, то должны открыть и без. А если России, Швейцарии или Сербии, то понадобится «полный пакет».