Если покупать машину в грузии, как на ней потом ездить в соседние страны?

Без гражданства/внж Грузии - никак.

Если нет грузинского внж то кроме Армении никак.

В Россию и Турцию без ВНЖ/гражданства Грузии не попасть (есть бюрократические исключения но в целом будет не заехать). В Армению можно спокойно. В Европу паромом через Болгарию в обход Турции. Азербайджан как будто бы собирается с 1 мая открывать наземные границы, и там опыта ни у кого нет.