Подскажите, пожалуйста, ездят ли такси из Сочи в Батуми?

Да нигде. Нет никаких метеоров. Вы хоть немного за повесткой дня следите. Если вам так надо в Сочи, то или самолетом через Турцию. Либо землей Батуми-Владикавказ-Краснодар-Сочи.