Можно с российским паспортом в Бишкеке сделать шенгенскую визу? Что для этого надо? Прописка?

Правила меняются но в целом нужны доказательства вашей связи со страной где подаете.

Конечно вы можете подавать без проблем, а вот откроют вам визу или нет это зависит от консульства, просто на вопрос консульства почему вы подаёте на визу здесь а не в РФ, вы говорите что путешествуете.