Подскажите пожалуйста провайдера в Батуми, что бы подключить вай фай дома.

Надо смотреть к какому провайдеру дом подключен. Иногда выбора нет.

Silknet и Magti в общем случае. Но да, нужно уточнять. В магти в крайнем случае можно взять модем и сим-карту к нему и раздавать через него.