Подскажите, пожалуйста, а в Ташкенте везде живут тараканы? Есть смысл искать квартиру без них на короткий срок или это нереально?

Не везде))

Не везде, но много где. И с улицы могут заходить. Ищите лучше в новом доме, в старых больше шанс наткнуться.

Купите американский шприц, его все хвалят. Сам не пользовался. И заделайте все щели наружу, поставьте сетки на вентиляцию и окна.