Чтобы на 90 дней оставаться в Казахстане, достаточно же сделать уведомление о прибытии?

Да.

Верно.

Чтобы на 90 дней оставаться (точнее, 90 из каждых 180) в РК вам достаточно быть гражданином страны из ЕАЭС. Ваш арендодатель обязан подать Уведомление в течение 3-х раб дней с вашего заезда на его квартиру (и так при каждом переезде), хозяина надо предупредить об этом, иначе его могут оштрафовать. Вам полезно иметь копию такого уведомления, оно облегчает процесс открытия счета в банке. Но это обязанность хозяина, а не ваша.