Как попросить посольство Франции напрямую, чтобы записали на ближайшие даты на визу (есть приглашение оригинал)?

Если ваша ситуация отличается от ситуации основной массы туристов, имеющих частное приглашение, то можно попробовать написать мэйл в Консульство Франции в России. Если ситуация стандартная, то шансов нет, вас направят в визовый центр.

Визы - это компетенция консульства, а не посольства. «Попросить» никак. Если есть веские причины, выбираете соответствующую категорию записи. На них слоты всегда есть на ближ даты.