Если я заканчиваю универ в Италии ,( лекции закончатся в мае). У меня останутся пару экзаменов в долгах и диплом.

Спокойно. На продление подавайте там, где проживаете, с подтверждением места проживания.

Во-первых, в универе перуджи можно спокойно посещать лекции онлайн. Во-вторых понятно что на таком сроке вам там собственно и не нужно каждый день появляться и вы вполне себе можете законно и логично уже работать, и совсем необязательно в Умбрии. Где нашли варианты (или ищите), туда и переехали. Если общежитие не просили и доход есть, то вообще не вижу никаких препятствий. А какой факультет?