Скажите, можно ли в Германии зарегистрироваться в квартире, когда срок аренды еще не начался, но уже есть контракт?

Если у вас будет разрешение на проживание в квартире с ранней даты, то можно, но кто же его даст)

Можно сделать регистрацию с даты контракта) Но вы можете заранее прийти на процедуру и попросить поставить в прописке будущую дату (когда по факту переедете/контракт станет действовать)