если я переезжаю на Кипр по работе и со мной едет муж по воссоединению, то после получения всех документов на жительство на Кипре имеет ли он право открывать компанию и заниматься предпринимательской деятельностью?

Pink slip это вообще любое внж, они есть разные. Если браку больше года, то будет family reunion spouse, по нему можно либо искать работу на Кипре с минимальной зарплатой(940€) кажется либо работать как угодно будь то employee или contractor вне Кипра как физлицо.