Подскажите, пожалуйста, если я лечу со своей мамой, она может тоже оформить DNI по внучке? И для DNI же не нужны апостилированные свидетельства?

Да, она может получить постоянную резиденцию тоже, но не по внучке, а по дочери с постоянной резиденцией. Для этого вам нужно будет подтвердить родство и вот в этом случае нужно будет ваше свидетельство о рождении с апостилем.