К какой почте относится улица Пиросмани в Батуми?

Пишите 6004, не ошибетесь, я думаю.

На дом они почту не носят, всё равно надо забирать в отделении, так что с точки зрения почты вообще неважно, где получатель живёт, лишь бы паспорт показал. Ну и с учётом этого имеет смысл адрес самого отделения указывать, а не реальный.