Хотим прилететь в Аргентину на роды, но официально нахожусь не в браке. Можем ли мы заключить брак через посольство РФ в Аргентине, допустим в Буэнос-Айрес?

А вы сейчас в РФ? Если да, то там можно за день расписаться, если принести справку о беременности. А так расписывают во всех консульствах, надо просто очередь на это поймать.

Если получать документы по родам - то не обязательно быть расписаными.