Первый раз переезжаю из одного региона Нидерландов в другой. Подскажите, мне же нужно только новый город уведомить, в старый ничего не нужно отправлять, там само все обновится?

Да, всё верно.

Вообще обычно сейчас во всех хементах есть электронный сервис смены адреса. То есть в старой хементе заходите на сайт, оформляете там смену адреса, там будет выбор внутри того же региона или в новый. После этого ничего больше делать не надо, все адреса в банках и официальных гос сервисах сменятся автоматически. Если физически придти, то да, в новую лучше.