При вылете из Монголии требуют ли какие-то дополнительные документы в аэропорту? Или нужен только загранпаспорт?

Смотря куда летите. Монгольской стороне нужен только загран, но они требуют также перечень документов, требуемый принимающей страны. Если принимающая страна без ПЦР не впускает, то в аэропорту без него вас просто не посадят в самолёт. Всё по такому принципу.