Мы едем в Черногорию. Там реально надо регистрироваться в полиции в течение суток? Мы 5 дней будеи в отеле, пока квартиру не снимем, в отелях они сами не регистрируют?

В отелях сами - только хозяевам напомните. И попросите подтверждение - бланки оплаты.

Реально. Не в полиции, а в туристической организации. Уточните в отеле, могут они или нет.