Собираемся заселятся в квартиру на airbnb, но белый картон регистрировать не хотят. Говорят о certificate of stay in accommodation на точные даты моего заселения. Могут ли быть потом проблемы при выезде из-за отсутствия белого картона?

Как такового "белого картона" вообще не бывает. Так называют в общении между собой документ Prijava boravišta stranca. То, что выписывают вам, это её электронный аналог, оформленный в системе euprava.

У нас не спрашивали на выезде из страны белый картон . Мы с мужем месяц жили в Белграде и по стране путешествовали . Негде не просили его пред’явить . Возможно это исключение из правил , не знаю.