Какие справки из больницы надо (и надо ли вообще) иметь при себе, когда едешь в Аргентину рожать? Вставать на учёт в России надо обязательно? Эту справку спрашивают в Аргентине?

А про какую справку Вы говорите? Вы на первый прием ко врачу в Аргентине приносите результаты обследований, если они есть. Если нет - Вам врач назначит. Но не иметь вообще ничего за всю беременность, это по-моему странно, если только беременность не «свежая» типа 12 недель.