Скажите, пожалуйста, в каком формате в Кыргызстане принято заключать договоры аренды? Есть ли типовые форматы договоров, оформление их в госоргонах?

Нет, договора не регестрируют. Их даже не всегда заключают письменно. Часто подписывают обыный типовой длговор, скачанный из сети. Расписку спросить можно и нужно.